La tasa de variación media mide a qué ritmo cambia una función en un tramo. Es la pendiente de la recta que une los dos puntos, y en física se llama velocidad media.
Cuánto cambia una función
La tasa de variación media (TVM) mide cuánto cambia la función por cada unidad que avanza x, entre dos puntos:
TVM[a, b] = f(b) − f(a)b − a
Un ejemplo
Con f(x) = x2, entre x = 1 y x = 3:
TVM = 9 − 13 − 1 = 82 = 4
De media, la función sube 4 unidades por cada unidad de x en ese tramo.
Por qué «media»
Entre 1 y 3 la función no sube siempre al mismo ritmo: al principio despacio y al final deprisa. La TVM da el ritmo promedio, como la velocidad media de un viaje, que no dice a qué velocidad se iba en cada momento.
En una recta
Para una recta la TVM es la misma en todos los tramos, y coincide con su pendiente. Es la manera precisa de decir que una recta crece siempre al mismo ritmo, mientras que una parábola no.
La velocidad media
El ejemplo físico de siempre: si el espacio recorrido es una función del tiempo, su TVM es la velocidad media. Recorrer 180 km en 2 horas da
180 − 02 − 0 = 90 km/h
aunque durante el trayecto se haya ido más deprisa y más despacio.
Confundir el signo de la tasa con el signo de la función. Una TVM negativa significa que la función baja en ese tramo, no que sus valores sean negativos.
TVM negativa quiere decir que la función es negativaQuiere decir que decrece: puede estar toda por encima del eje y aun así bajarPiensa en un depósito que se vacía de 80 a 30 litros: los valores son positivos y la tasa, negativa.