Detectar una simetría ahorra la mitad del trabajo: con media gráfica se tiene la otra media. Y la periodicidad hace lo mismo a lo largo del eje, como en las funciones trigonométricas.
Funciones pares: simetría respecto del eje vertical
f(−x) = f(x)
La mitad izquierda de la gráfica es el reflejo exacto de la derecha, como en un espejo. El ejemplo típico es x2: (−3)2 = 32 = 9.
Función par: la gráfica es simétrica respecto del eje vertical.
Funciones impares: simetría respecto del origen
f(−x) = −f(x)
La gráfica queda igual al girarla media vuelta alrededor del origen. El ejemplo típico es x3: (−2)3 = −8 = −(23).
Cómo comprobarlo
- Se sustituye x por −x en la fórmula.
- Si sale lo mismo, es par.
- Si sale todo cambiado de signo, es impar.
- Si no sale ninguna de las dos cosas, no tiene ninguna de esas simetrías.
Periodicidad
Una función es periódica de periodo T si su gráfica se repite idéntica cada T unidades:
f(x + T) = f(x)
El seno y el coseno de la unidad anterior son periódicos de periodo 360°. También lo son la temperatura media a lo largo de los años o las mareas.
Para qué sirve
Detectar una simetría ahorra la mitad del trabajo: basta estudiar y dibujar media función y reflejar el resto. Y la periodicidad permite predecir el futuro a partir de un solo periodo.
Cambiar los nombres de las dos simetrías. Si f(−x) = f(x), la función es par (simétrica respecto del eje Y); si f(−x) = −f(x), es impar.
f(−x) = f(x) significa que la función es imparEso es par: la gráfica se refleja en el eje vertical, como y = x²Y la mayoría de las funciones no son ni una cosa ni la otra: x² + x, por ejemplo.