Dos rectas del plano solo pueden hacer tres cosas: cortarse, ser paralelas o ser la misma recta. Distinguirlo con las ecuaciones evita tener que dibujar nada.
Tres posibilidades
| Posición | Puntos en común | Sistema |
|---|---|---|
| Secantes | uno | compatible determinado |
| Paralelas | ninguno | incompatible |
| Coincidentes | infinitos | compatible indeterminado |
Es lo mismo que se vio al interpretar los sistemas de dos ecuaciones en 3.º: cada recta es una ecuación, y resolver el sistema es buscar los puntos comunes.
El criterio rápido: comparar pendientes
- Pendientes distintas → secantes.
- Pendientes iguales y ordenadas en el origen distintas → paralelas.
- Pendientes iguales y misma ordenada en el origen → coincidentes.
Con la forma general
Para Ax + By + C = 0 y A'x + B'y + C' = 0 se comparan los cocientes:
| Relación | Posición |
|---|---|
| AA' ≠ BB' | secantes |
| AA' = BB' ≠ CC' | paralelas |
| AA' = BB' = CC' | coincidentes |
El punto de corte
Si son secantes, se halla resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones. Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de los de 3.º: sustitución, igualación o reducción.
Y el resultado se comprueba sustituyendo el punto en las dos ecuaciones.
Dar por paralelas dos rectas con la misma pendiente sin mirar la ordenada. Si además coincide la n, no son paralelas: son la misma recta.
y = 2x + 3 e y = 2x + 3 son paralelasSon coincidentes: todos sus puntos son comunesParalelas de verdad: misma pendiente y distinta ordenada en el origen.