La ecuación general Ax + By + C = 0 vale para todas las rectas, incluidas las verticales, que no caben en la explícita. Es la forma en la que se dan las rectas en Bachillerato.
De la continua a la general
Quitando denominadores en x − 13 = y − 24:
4(x − 1) = 3(y − 2) → 4x − 3y + 2 = 0
Esa es la ecuación general (o implícita): todo a un lado y cero al otro.
Ax + By + C = 0
Qué se lee en la general
| De Ax + By + C = 0 | Se obtiene |
|---|---|
| vector director | (−B, A) |
| pendiente | −AB |
En 4x − 3y + 2 = 0 el vector director es (3, 4) ✓ y la pendiente 43 ✓.
La explícita, la de 3.º de ESO
Despejando la y:
y = 43x + 23
y = mx + n
con m la pendiente y n la ordenada en el origen. Es la más cómoda para dibujar y la única que no sirve para rectas verticales, porque estas no tienen pendiente.
Casos particulares
| Ecuación | Recta |
|---|---|
| y = 3 | horizontal |
| x = 3 | vertical |
| y = 2x | pasa por el origen |
Comprobar si un punto está en la recta
Se sustituyen sus coordenadas y se mira si la igualdad se cumple. Para 4x − 3y + 2 = 0 y el punto (1, 2): 4 − 6 + 2 = 0 ✓, así que sí pertenece.
Leer la pendiente directamente de los coeficientes. En la forma general, la pendiente es −A/B, con el signo menos.
En 2x + 3y − 6 = 0, la pendiente es 2/3m = −A/B = −2/3 (despejando: y = (−2x + 6)/3)Y para comprobar si un punto está en la recta, se sustituye: tiene que salir 0.