Una recta queda determinada por un punto y una dirección. Escribir eso con vectores da varias formas de la ecuación de la recta, y todas dicen lo mismo con distinto traje.
Un punto y una dirección
Para determinar una recta basta con un punto por el que pasa y un vector director que indique su dirección. Con P(1, 2) y v = (3, 4):
El vector director marca la inclinación; el punto fija dónde está la recta.
Ecuación vectorial
(x, y) = (1, 2) + t · (3, 4)
Cada valor de t da un punto de la recta: con t = 0 sale P, con t = 1 sale (4, 6), con t = −1 sale (−2, −2).
Ecuaciones paramétricas
Es lo mismo, escrito por separado:
Ecuación continua
Se despeja t en las dos y se igualan:
x − 13 = y − 24
Pendiente y vector director
Si el vector director es (v1, v2), la pendiente es
m = v2v1
Con (3, 4) la pendiente es 43: por cada 3 que se avanza, se suben 4. Es la misma pendiente de 3.º de ESO, ahora leída en un vector.
Leer el vector director al revés. En y = mx + n, la pendiente m es lo que sube por cada unidad que avanza, así que el director es (1, m).
El vector director de y = 2x + 1 es (2, 1)Es (1, 2): se avanza 1 y se sube 2Comprobación: la pendiente es la segunda componente entre la primera, o sea 2/1 = 2 ✓