Con una razón y el cuadrante se obtienen las otras dos, sin ángulo y sin calculadora. Es un ejercicio clásico de examen y la mejor forma de dominar la relación fundamental.
El problema típico
«Sabiendo que sen α = 0,6 y que α está en el segundo cuadrante, halla el coseno y la tangente.»
Es lo mismo que se hacía con ángulos agudos, pero ahora el cuadrante decide el signo de la raíz.
Paso a paso
- cos2α = 1 − sen2α = 1 − 0,36 = 0,64.
- cos α = ±0,8.
- En el 2.º cuadrante el coseno es negativo: cos α = −0,8.
- tg α = 0,6−0,8 = −0,75.
Partiendo de la tangente
Si el dato es la tangente se usa la relación
1 + tg2α = 1cos2α
que sale de dividir sen2α + cos2α = 1 entre cos2α. Con tg α = 0,75: 1 + 0,5625 = 1,5625, así que cos2α = 11,5625 = 0,64 y cos α = ±0,8.
Cuánto vale el ángulo
La calculadora, con sin−1, devuelve siempre un ángulo del primer o del cuarto cuadrante. Si el ángulo buscado está en otro, hay que reducirlo: si sen α = 0,6 en el 2.º cuadrante, la calculadora da 36,87°, y el ángulo bueno es 180 − 36,87 = 143,13°.
Comprobación
Al terminar, se comprueban dos cosas: que los cuadrados suman 1 y que los signos coinciden con el cuadrante. Con eso no se escapa ningún error.
Quedarse con la solución positiva al sacar la raíz cuadrada. La raíz da dos valores y el cuadrante decide cuál vale.
sen α = 0,6 en el segundo cuadrante → cos α = 0,8cos²α = 1 − 0,36 = 0,64 → cos α = ±0,8; en el segundo cuadrante, cos α = −0,8Por eso el enunciado siempre dice el cuadrante: sin ese dato habría dos respuestas.