Las razones de un mismo ángulo no son independientes: conocida una, las otras salen sin medir nada. La relación fundamental es la herramienta que lo permite, y aparecerá en todos los cursos siguientes.
La relación fundamental
sen2α + cos2α = 1
Sale del teorema de Pitágoras. En un triángulo de hipotenusa c y catetos a y b:
a2c2 + b2c2 = a2 + b2c2 = c2c2 = 1
La segunda relación
tg α = sen αcos α
También es inmediata: op ÷ hipady ÷ hip = opady, porque la hipotenusa se cancela.
Para qué sirven
Para calcular las tres razones conociendo solo una, sin saber el ángulo ni el triángulo. Si sen α = 0,6 y α es agudo:
- cos2α = 1 − 0,36 = 0,64, así que cos α = 0,8.
- tg α = 0,60,8 = 0,75.
Se toma la raíz positiva porque, para un ángulo agudo, las tres razones son positivas.
Comprobar un dato
Sirven también para detectar datos imposibles: si alguien dice que sen α = 0,8 y cos α = 0,7, basta sumar los cuadrados: 0,64 + 0,49 = 1,13 ≠ 1. No puede ser.
Recordar mal el valor de la relación fundamental. La suma de los cuadrados del seno y del coseno vale 1, siempre y para cualquier ángulo.
sen²α + cos²α = 2sen²α + cos²α = 1Compruébalo con 30°: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓