Con la incógnita en el denominador no se puede multiplicar sin más: no se sabe si ese denominador es positivo o negativo, y de eso depende si el signo se gira. Por eso se usa la tabla de signos.
Una fracción con la incógnita abajo
x − 1x + 2 > 0
Aquí no se puede multiplicar por el denominador: como lleva x, no se sabe si es positivo o negativo, y si fuera negativo habría que invertir el signo. Multiplicar sin saberlo es el error grave del tema.
El método: tabla de signos
- Se buscan los valores que anulan el numerador y el denominador.
- Esos valores parten la recta en tramos.
- Se estudia el signo de la fracción en cada tramo probando un valor.
- Se eligen los tramos que cumplen la desigualdad, cuidando los extremos.
El ejemplo, resuelto
Numerador cero en x = 1; denominador cero en x = −2 (valor prohibido).
| Tramo | x − 1 | x + 2 | Cociente |
|---|---|---|---|
| (−∞, −2) | − | − | + |
| (−2, 1) | − | + | − |
| (1, +∞) | + | + | + |
Solución: (−∞, −2) ∪ (1, +∞).
Los extremos, con cuidado
- El valor que anula el numerador entra si el signo es ≥ o ≤ (ahí la fracción vale 0).
- El que anula el denominador nunca entra: la fracción no existe ahí.
Por eso una solución puede ser [1, +∞) pero nunca [−2, …).
La regla de los signos, otra vez
El signo del cociente sale de multiplicar los signos: menos entre menos da más. Es la misma regla de los enteros de 1.º, aplicada a expresiones.
Dónde se lía todo el mundo
Incluir en la solución el valor que anula el denominador. Ese punto nunca puede entrar, aunque el signo de la inecuación sea ≤ o ≥.
(x − 1)/(x − 3) ≥ 0 → solución (−∞, 1] ∪ [3, +∞)→ (−∞, 1] ∪ (3, +∞): el 3 anula el denominador y queda fueraRegla fija: los ceros del numerador pueden entrar; los del denominador, jamás.
En una fraseSe iguala a cero numerador y denominador, se ordenan los puntos en la recta y se estudia el signo en cada tramo.