Una inecuación de segundo grado se resuelve mirando la parábola: dónde queda por encima del eje y dónde por debajo. Con el dibujo mental, el resultado se lee sin memorizar reglas.
La idea: mirar la parábola
y = x² − 4 es negativa entre las raíces (−2 y 2) y positiva fuera de ellas.
Resolver x2 − 5x + 6 < 0 es preguntar dónde está la parábola por debajo del eje. Y eso se contesta con lo aprendido en 3.º: raíces y forma de la parábola.
El método, en tres pasos
- Se resuelve la ecuación asociada: x2 − 5x + 6 = 0 → x = 2 y x = 3.
- Esas raíces parten la recta en tres tramos: (−∞, 2), (2, 3) y (3, +∞).
- Se prueba un valor de cada tramo y se mira el signo.
| Tramo | Valor de prueba | Signo |
|---|---|---|
| (−∞, 2) | x = 0 → 6 | positivo |
| (2, 3) | x = 2,5 → −0,25 | negativo |
| (3, +∞) | x = 4 → 2 | positivo |
Como se pedía < 0, la solución es (2, 3).
Los cuatro resultados posibles
| Inecuación (con a > 0 y dos raíces p < q) | Solución |
|---|---|
| < 0 | (p, q) |
| ≤ 0 | [p, q] |
| > 0 | (−∞, p) ∪ (q, +∞) |
| ≥ 0 | (−∞, p] ∪ [q, +∞) |
Cuando no hay raíces
Si el discriminante es negativo, la parábola no corta al eje y no cambia de signo nunca:
- x2 + 1 > 0 se cumple siempre.
- x2 + 1 < 0 no se cumple nunca.
Basta comprobar el signo en un punto cualquiera, por ejemplo x = 0.
Quedarse con media solución al sacar la raíz. Si el cuadrado tiene que ser mayor que un número, sirven los valores grandes por arriba y por abajo.
x² > 4 → x > 2x > 2 o x < −2, o sea (−∞, −2) ∪ (2, +∞)Comprueba con x = −3: (−3)² = 9, que sí es mayor que 4.