Es la lección más importante de la unidad, y no por la técnica. Es la primera vez que aparece algo que hay que llevarse para siempre: al elevar al cuadrado se pueden ganar soluciones que no valen. Comprobar deja de ser un consejo y pasa a ser parte del método.
El método
- Se aísla la raíz en un lado, ella sola.
- Se elevan al cuadrado los dos miembros.
- Se resuelve la ecuación que queda.
- Se comprueban todas las soluciones en la ecuación original.
Resolver √x + 3 = x − 3
- La raíz ya está sola. Elevo al cuadrado los dos lados.
- x + 3 = (x − 3)2 = x2 − 6x + 9.
- x2 − 7x + 6 = 0, así que x = 6 y x = 1.
- Compruebo x = 6: √9 = 3 y 6 − 3 = 3 ✓. Vale.
- Compruebo x = 1: √4 = 2 pero 1 − 3 = −2 ✗. No vale.
- Solución: solo x = 6.
Por qué se cuela una solución falsa
Con x = 1 la ecuación original decía «2 = −2», que es falso. Al elevar al cuadrado, los dos lados se convirtieron en 4 y el signo desapareció. La ecuación transformada sí se cumple; la original, no.
Si hay dos raíces
Se aísla una, se eleva al cuadrado, y si queda otra se repite el proceso. Cada elevación al cuadrado puede añadir soluciones falsas, así que con dos raíces la comprobación es todavía más necesaria.
Dar las dos soluciones sin comprobar. En una ecuación con radicales, comprobar no es repasar: es parte de resolverla.
«Las soluciones son 6 y 1»«6 vale; 1 se cuela al elevar al cuadrado y no cumple la original»Si no compruebas, no has terminado el ejercicio.