Son ecuaciones de cuarto grado que se resuelven con lo que ya sabes, gracias a un cambio de variable. Es la primera vez que aparece esa idea —convertir un problema difícil en uno conocido— y se usará mucho más adelante.
Cómo se reconocen
ax4 + bx2 + c = 0
Solo hay exponentes 4 y 2, y el término independiente. Si aparece un x3 o un x suelto, no es bicuadrada y este método no vale.
El cambio de variable
- Se llama t = x2, así que x4 = t2.
- Queda una ecuación de segundo grado en t.
- Se resuelve y salen los valores de t.
- Se deshace el cambio: x = ±√t para cada valor.
Cada t positivo da dos valores de x, uno positivo y otro negativo. Por eso una bicuadrada puede tener hasta cuatro soluciones, y por eso el paso 4 es donde se pierden la mitad.
Resolver x4 − 13x2 + 36 = 0
- Cambio: t = x2. Queda t2 − 13t + 36 = 0.
- Resolviendo: t = 9 y t = 4.
- Deshago el cambio con t = 9: x = ±3.
- Y con t = 4: x = ±2.
- Cuatro soluciones: 3, −3, 2 y −2.
Cuando hay menos de cuatro
| Si t sale… | Da… |
|---|---|
| positivo | dos soluciones de x |
| cero | una sola: x = 0 |
| negativo | ninguna: no hay raíz de un negativo |
Así que una bicuadrada puede tener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución, y lo decide el signo de cada t.
Dónde se lía todo el mundo
Quedarse en la t y dar eso como respuesta. La t es una ayuda, no la incógnita: hay que deshacer el cambio.
«Las soluciones son 9 y 4»«t vale 9 y 4, así que x = ±3 y ±2»Si tu respuesta tiene dos números y la ecuación era de grado 4, probablemente falte deshacer el cambio.
En una frase: se llama t a x2, se resuelve la de segundo grado y se deshace el cambio con ± raíz de cada t positiva.