Es la ecuación que más aparece de aquí en adelante: en física, en problemas de áreas, en optimización. En 4.º ya no basta con resolverla: hay que saber cuántas soluciones tiene antes de calcularlas y qué significan en el problema.
La fórmula
x = [−b ± √b2 − 4ac] : 2a
Lo de dentro de la raíz se llama discriminante, se escribe Δ, y decide cuántas soluciones hay antes de calcular nada:
| Δ = b2 − 4ac | Soluciones | La parábola |
|---|---|---|
| > 0 | dos distintas | corta el eje en dos puntos |
| = 0 | una doble | lo toca en uno |
| < 0 | ninguna real | no lo corta |
Las incompletas salen sin fórmula
| Forma | Cómo se resuelve | Ejemplo |
|---|---|---|
| ax2 + bx = 0 | factor común x | x2 − 5x = 0 → 0 y 5 |
| ax2 + c = 0 | se despeja y raíz | x2 − 9 = 0 → ±3 |
En la primera, la solución x = 0 se pierde muchísimo por dividir los dos lados entre x. Nunca se divide entre la incógnita: si vale cero, se está dividiendo entre cero y esa solución desaparece.
Resolver x2 − 5x + 6 = 0
- a = 1, b = −5, c = 6.
- Δ = 25 − 24 = 1 > 0: dos soluciones.
- x = (5 ± 1) : 2.
- x = 3 y x = 2.
- Comprobación: 9 − 15 + 6 = 0 ✓ y 4 − 10 + 6 = 0 ✓.
Suma y producto de las soluciones
x1 + x2 = −b : a x1 · x2 = c : a
Sirve para comprobar en tres segundos: en el ejemplo, 3 + 2 = 5 = −(−5) ✓ y 3 · 2 = 6 ✓. Y también para construir una ecuación conociendo sus raíces.
Dónde se lía todo el mundo
Dividir entre x en una ecuación incompleta. Se pierde la solución x = 0, que casi siempre es una de las dos.
x2 = 5x → x = 5x2 − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 y x = 5Se pasa todo a un lado y se saca factor común. Nunca se divide entre la incógnita.
En una frase: el discriminante dice cuántas soluciones hay, las incompletas salen sin fórmula, y nunca se divide entre la incógnita.