Factorizar es escribir un polinomio como producto, y hay un orden que ahorra la mitad del trabajo: factor común, identidades notables y, solo al final, Ruffini.
Las tres herramientas, en orden
- Factor común: siempre lo primero.
- Identidades notables: si se reconoce un cuadrado o una diferencia de cuadrados.
- Ruffini: para lo que quede de grado 3 o más.
Y para los trinomios de segundo grado, la fórmula de las soluciones o el truco de «dos números que sumen y multipliquen».
Un ejemplo con las tres
Factorizar 2x3 − 18x:
- Factor común 2x: 2x(x2 − 9).
- Identidad: x2 − 9 = (x + 3)(x − 3).
- Resultado: 2x(x + 3)(x − 3).
Cuándo parar
Cuando todos los factores son de grado 1, o de grado 2 sin raíces reales (discriminante negativo). x2 + 4 no se puede descomponer más.
Comprobar la factorización
| Comprobación | Cómo |
|---|---|
| Grados | los grados de los factores suman el grado del polinomio |
| Término independiente | el producto de los términos independientes coincide |
| Un valor cualquiera | sustituir x = 1 en las dos formas y comparar |
La tercera es la más potente: si al sustituir x = 1 el polinomio y su factorización no dan lo mismo, hay un error seguro.
Para qué sirve factorizar
Para resolver ecuaciones (producto nulo), para simplificar fracciones algebraicas —lo que viene en las próximas sesiones— y para calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos polinomios.
Parar antes de tiempo. Un polinomio está factorizado del todo cuando ninguno de sus factores se puede descomponer más.
x³ − x = x(x² − 1), y ya estáx(x² − 1) = x(x + 1)(x − 1)Comprobación del grado: los grados de los factores tienen que sumar el grado del polinomio original.