Las identidades notables se amplían con el cubo del binomio, y sus coeficientes salen del triángulo de Pascal. Reconocerlas al derecho y al revés es lo que hace rápida toda la unidad.
Las tres de siempre
| Identidad | Desarrollo |
|---|---|
| (a + b)2 | a2 + 2ab + b2 |
| (a − b)2 | a2 − 2ab + b2 |
| (a + b)(a − b) | a2 − b2 |
Se usaron en 2.º y en 3.º. Lo nuevo de este curso es el cubo.
El cubo de un binomio
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Con (x + 2)3: x3 + 6x2 + 12x + 8. Los coeficientes son 1, 3, 3, 1, y en la resta van alternando de signo.
El triángulo de Pascal
Sirve para desarrollar cualquier potencia de un binomio sin multiplicar: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
Reconocerlas al revés
Lo verdaderamente útil es identificar una identidad en un polinomio ya desarrollado, porque eso lo factoriza al instante:
| Polinomio | Es |
|---|---|
| x2 + 10x + 25 | (x + 5)2 |
| x2 − 49 | (x + 7)(x − 7) |
| x3 + 6x2 + 12x + 8 | (x + 2)3 |
La pista del cuadrado perfecto: el término central es el doble producto de las raíces de los extremos.
Repartir el exponente sobre la suma. Ni el cuadrado ni el cubo de una suma son la suma de los cuadrados o los cubos: faltan los términos de en medio.
(a + b)³ = a³ + b³(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³Compruébalo con a = 1 y b = 1: (1+1)³ = 8, y 1 + 3 + 3 + 1 = 8 ✓ (la versión mala daría 2).