Cuando la incógnita está en el exponente, no hay forma de despejarla con las operaciones de siempre. Los logaritmos son la única herramienta que la baja de ahí: por eso existen en este curso.
La incógnita en el exponente
2x = 32
Hasta ahora la x estaba en la base; aquí está arriba, y no sirve despejar como siempre. Hay dos caminos.
Camino 1: igualar bases
Si los dos miembros se pueden escribir con la misma base, los exponentes tienen que ser iguales:
2x = 32 = 25 → x = 5
Es el método rápido, y funciona siempre que los números sean potencias de la misma base:
| Ecuación | Se escribe | Solución |
|---|---|---|
| 3x = 81 | 3x = 34 | x = 4 |
| 2x = 18 | 2x = 2−3 | x = −3 |
| 5x+1 = 125 | 5x+1 = 53 | x + 1 = 3, x = 2 |
Camino 2: tomar logaritmos
Cuando las bases no se pueden igualar (2x = 10, por ejemplo), se toman logaritmos en los dos miembros y se usa la propiedad de la potencia:
log 2x = log 10 → x · log 2 = 1 → x = 1log 2 ≈ 3,32
Comprobar siempre
Se sustituye en la ecuación original. Con x = 5 en 2x = 32: 25 = 32 ✓.
Un aviso
Una ecuación como 2x = −8 no tiene solución: una potencia de base positiva nunca da un número negativo, por muy grande o pequeño que sea el exponente.
Estimar el exponente a ojo cuando las bases no se pueden igualar. Se toman logaritmos en los dos miembros y la incógnita baja.
2ˣ = 10 → x = 5log(2ˣ) = log 10 → x · log 2 = 1 → x = 1 / log 2 ≈ 3,32Comprobación: 2³ = 8 y 2⁴ = 16, así que el resultado tenía que estar entre 3 y 4.