La tercera propiedad baja el exponente y lo pone a multiplicar. Es la que permite resolver ecuaciones con la incógnita arriba, que es para lo que se estudian los logaritmos en este curso.
La tercera propiedad
loga mp = p · loga m
El exponente sale fuera multiplicando. Es la propiedad más usada, porque es la que permite despejar incógnitas que están en un exponente.
Por qué funciona
Porque una potencia es un producto repetido, y los productos se convierten en sumas:
log2 83 = log2 8 · 8 · 8 = 3 + 3 + 3 = 3 · 3 = 9
Las raíces, con exponente fraccionario
Como n√m = m1/n, la propiedad de la potencia sirve también para las raíces:
loga n√m = 1n · loga m
Ejemplo: log √100 = 12 · log 100 = 12 · 2 = 1. Y en efecto √100 = 10, cuyo logaritmo es 1 ✓.
Un ejemplo con todo junto
log 4 · 53√100 = log 4 + 3log 5 − 12log 100
Se parte por las tres reglas: el producto suma, la potencia multiplica y el cociente resta.
El error que hay que evitar
(log m)2 ≠ 2log m
El primero es el logaritmo elevado al cuadrado; el segundo es el logaritmo del cuadrado del número. Con m = 100: el primero es 22 = 4 y el segundo 2 · 2 = 4… coinciden por casualidad. Con m = 1.000: 9 frente a 6. No son lo mismo.
Elevar el logaritmo en lugar de bajar el exponente. El exponente sale fuera multiplicando; no se queda elevando al logaritmo.
log(x²) = (log x)²log(x²) = 2 · log xCompruébalo con x = 10: log 100 = 2, y 2 · log 10 = 2 ✓. La otra daría 1.