Esta es la propiedad que hizo famosos a los logaritmos: convierten multiplicaciones en sumas. Antes de las calculadoras, así se multiplicaban números enormes en astronomía y navegación.
La propiedad que hizo famosos a los logaritmos
loga m · n = loga m + loga n
El logaritmo convierte productos en sumas. Antes de las calculadoras, eso permitía multiplicar números enormes sumando logaritmos leídos en una tabla: fue la herramienta de cálculo de la astronomía y la navegación durante trescientos años.
Por qué funciona
Porque al multiplicar potencias de la misma base los exponentes se suman:
23 · 24 = 27 → log2 8 · 16 = log2 128 = 7 = 3 + 4
El cociente, restando
loga m : n = loga m − loga n
Con base 10: log 1000 − log 10 = 3 − 1 = 2, y en efecto log 100 = 2 ✓.
Lo que NO se puede hacer
loga m + n ≠ loga m + loga n
Comprobación: log 10 + log 10 = 2, pero log 20 ≈ 1,3. La propiedad es para el producto, no para la suma.
Usarlas en los dos sentidos
| Se parte | Se junta |
|---|---|
| log 6 = log 2 + log 3 | log 4 + log 25 = log 100 = 2 |
| log2 12 = log2 4 + log2 3 | log3 18 − log3 2 = log3 9 = 2 |
Juntar suele ser lo útil: convierte una suma de logaritmos raros en un logaritmo exacto.
Convertir el producto de dentro en un producto de fuera. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, no su producto.
log(a · b) = log a · log blog(a · b) = log a + log bCompruébalo: log(10 · 100) = log 1.000 = 3, y log 10 + log 100 = 1 + 2 = 3 ✓ (el producto daría 2).