Racionalizar quita las raíces del denominador. Se hace para poder comparar y estimar resultados, y sigue siendo la forma en la que se entregan las respuestas en 4.º y en Bachillerato.
Los tres casos
| Denominador | Se multiplica por | Ejemplo |
|---|---|---|
| √a | √a | 1√2 = √22 |
| b√a | √a | 63√2 = 6√26 = √2 |
| √a + b | el conjugado √a − b | 1√3 + 1 = √3 − 12 |
Los dos primeros ya se vieron en 3.º. El tercero es el nuevo, y el más útil.
Por qué funciona el conjugado
Por la identidad de suma por diferencia: al multiplicar (√3 + 1)(√3 − 1) los radicales se elevan al cuadrado y desaparecen:
(√3 + 1)(√3 − 1) = 3 − 1 = 2
Un ejemplo completo
4√5 + 1 = 4(√5 − 1)(√5 + 1)(√5 − 1) = 4(√5 − 1)4 = √5 − 1
Fíjate en el último paso: casi siempre queda algo que simplificar entre el numerador y el nuevo denominador.
Con dos radicales
2√7 − √5 = 2(√7 + √5)7 − 5 = 2(√7 + √5)2 = √7 + √5
Para qué sirve hoy
Ya no hace falta para calcular (las calculadoras dividen entre 1,4142 sin quejarse), pero sí para dejar la expresión en forma única: dos alumnos que racionalizan llegan a la misma escritura, y eso permite comparar resultados. Además, en Bachillerato es imprescindible para operar con límites.
Multiplicar por el conjugado solo abajo. Si se multiplica únicamente el denominador, el número cambia: hay que multiplicar arriba y abajo.
3/(√5 − 2) → multiplico el denominador por (√5 + 2)Multiplico numerador y denominador: 3(√5 + 2) / ((√5)² − 2²) = 3(√5 + 2)Multiplicar por (√5+2)/(√5+2) es multiplicar por 1: por eso el valor no cambia.