Aquí se juntan todas las operaciones con radicales: sumas con extracción previa, productos con paréntesis e identidades notables. Es la forma en la que aparecen los radicales en trigonometría y en geometría analítica.
Todo junto
En 3.º se sumaron, multiplicaron y simplificaron radicales por separado. Aquí aparecen mezclados en una sola expresión, y el orden de trabajo importa:
- Simplificar cada radical (extraer factores).
- Agrupar los semejantes.
- Operar productos y cocientes.
- Volver a simplificar el resultado.
Sumas con extracción previa
√50 + √18 − √8 = 5√2 + 3√2 − 2√2 = 6√2
Los tres radicandos eran distintos y, al simplificar, los tres se convirtieron en √2. Sin ese paso previo parecería que no se pueden sumar.
Productos con paréntesis
Se aplica la propiedad distributiva de siempre:
√2(√8 + √18) = √16 + √36 = 4 + 6 = 10
Identidades notables con radicales
Funcionan igual que con números:
| Expresión | Resultado |
|---|---|
| (√3 + 1)2 | 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3 |
| (√5 + √2)(√5 − √2) | 5 − 2 = 3 |
| (√7)2 | 7 |
La segunda es la suma por diferencia, y es la que hará posible racionalizar en la próxima sesión: convierte dos radicales en un número entero.
El error que hay que vigilar
(√3 + 1)2 ≠ 3 + 1
Elevar al cuadrado una suma no es elevar cada sumando: hay que usar la identidad completa, con su doble producto.
Elevar al cuadrado una suma de radicales repartiendo el exponente. El cuadrado de una suma tiene un doble producto que no se puede olvidar.
(√3 + √2)² = 3 + 2 = 5(√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6Es la identidad notable de siempre: (a + b)² = a² + 2ab + b², también con raíces.