Escribir las raíces como potencias de exponente fraccionario es lo que permite aplicarles todas las propiedades que ya conoces. Es un cambio de idioma, y ahorra aprender reglas nuevas.
El puente entre potencias y radicales
am/n = n√am
Eso ya se vio en 3.º. Lo nuevo es usarlo para operar: cuando una expresión mezcla raíces de índices distintos, se pasa todo a exponentes fraccionarios, se opera con las propiedades de las potencias y se vuelve a radicales al final.
Las propiedades, con exponentes fraccionarios
| Propiedad | Ejemplo |
|---|---|
| am · an = am+n | 21/2 · 21/3 = 25/6 |
| am : an = am−n | 53/4 : 51/4 = 51/2 |
| (am)n = am·n | (32/3)3 = 32 = 9 |
Un ejemplo completo
Simplificar √3 · 3√3 : 6√3:
31/2 · 31/3 : 31/6 = 31/2 + 1/3 − 1/6 = 34/6 = 32/3 = 3√9
Sin exponentes fraccionarios habría que igualar índices tres veces; así es una suma de fracciones.
Exponente negativo y fraccionario a la vez
8−2/3 = 182/3 = 1(3√8)2 = 14 = 0,25
El orden que menos errores da
- Pasar todo a exponente fraccionario.
- Operar los exponentes como fracciones.
- Simplificar la fracción del exponente.
- Volver a radical, si lo piden.
Colocar mal el numerador y el denominador del exponente. El denominador es el índice de la raíz y el numerador, la potencia.
8^(2/3) = (8²)³ = 262.1448^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4Conviene hacer primero la raíz: los números se quedan pequeños y sale de cabeza.