Una inecuación con valor absoluto es una pregunta sobre distancias: «qué números están a menos de 3 del 5». Verlo así evita tener que memorizar dos reglas que se confunden constantemente.
El valor absoluto es una distancia
Eso, que en 3.º servía para calcular, ahora resuelve inecuaciones. Hay dos tipos, y dan cosas muy distintas:
| Inecuación | Se lee | Solución |
|---|---|---|
| |x| < r | a menos de r del cero | (−r, r): un intervalo |
| |x| > r | a más de r del cero | (−∞, −r) ∪ (r, +∞): dos trozos |
Con el centro desplazado
|x − 3| < 2 ⇔ 1 < x < 5
Se resuelve quitando el valor absoluto por los dos lados:
−2 < x − 3 < 2 → se suma 3 en los tres miembros → 1 < x < 5
El caso «mayor que»
|x − 3| > 2
Se parte en dos inecuaciones separadas:
- x − 3 > 2 → x > 5
- x − 3 < −2 → x < 1
Solución: (−∞, 1) ∪ (5, +∞). El símbolo ∪ significa «o una cosa o la otra».
Casos que se resuelven sin cuentas
| Inecuación | Solución | Por qué |
|---|---|---|
| |x| < −3 | ninguna | una distancia no es negativa |
| |x| > −3 | todos los reales | cualquier distancia supera a un negativo |
| |x| ≥ 0 | todos los reales | siempre es cierto |
La comprobación
Se elige un número de dentro de la solución y otro de fuera, y se sustituye. Con |x − 3| < 2: el 4 la cumple (|1| = 1 < 2 ✓) y el 6 no (|3| = 3 ✓ es mayor que 2).
Quedarse solo con la mitad de la solución en el caso «mayor que». Si la distancia tiene que ser grande, sirven los que se van por arriba y los que se van por abajo.
|x| > 3 → x > 3x > 3 o x < −3, es decir (−∞, −3) ∪ (3, +∞)Comprueba con x = −5: |−5| = 5, que sí es mayor que 3. Tenía que estar en la solución.