Los intervalos y los entornos son la forma de escribir «todos los valores entre esto y aquello», y son el idioma en el que se dan los dominios y las soluciones de todo el curso.
Los intervalos, en una línea
Ya se usaron en 3.º: [2, 5] incluye los extremos, (2, 5) no, y las semirrectas llevan siempre paréntesis en el infinito. Lo nuevo de este curso es una forma más cómoda de escribir los intervalos simétricos.
El entorno
El entorno de centro 3 y radio 2 es el intervalo (1, 5): todo lo que está a menos de 2 del 3.
El entorno de centro a y radio r son los números que están a menos de r unidades de a:
E(a, r) = (a − r, a + r)
| Entorno | Intervalo | Con valor absoluto |
|---|---|---|
| E(3, 2) | (1, 5) | |x − 3| < 2 |
| E(0, 1) | (−1, 1) | |x| < 1 |
| E(−4, 0,5) | (−4,5; −3,5) | |x + 4| < 0,5 |
Del intervalo al entorno
Con el intervalo (2, 8):
- Centro: el punto medio, (2 + 8) : 2 = 5.
- Radio: la mitad de la amplitud, (8 − 2) : 2 = 3.
Así que (2, 8) = E(5, 3) = los x con |x − 5| < 3.
Entorno cerrado y entorno reducido
- Si se incluyen los extremos, se escribe E[a, r] = [a − r, a + r] y la condición es ≤.
- El entorno reducido quita el propio centro: sirve para hablar de «lo que pasa cerca de a pero sin llegar a a», que es la idea con la que empiezan los límites en Bachillerato.
Para qué sirven
Para escribir tolerancias («la pieza vale si mide 20 ± 0,1 mm» es E(20; 0,1)), para expresar soluciones de inecuaciones y, más adelante, para definir límites y continuidad.
Escribir el entorno como si fuera un intervalo con esos dos números. El entorno se da con centro y radio; el intervalo, con sus dos extremos.
E(3, 2) = (3, 2)E(3, 2) = (3 − 2, 3 + 2) = (1, 5)Y al revés: el intervalo (1, 5) tiene centro 3 (el punto medio) y radio 2 (la mitad de lo que mide).