Cuando el orden no importa —un equipo, una mano de cartas, una comisión sin cargos— hay que descontar todas las formas de reordenar lo mismo. Ahí están las combinaciones.
Elegir sin ordenar
De 10 alumnos hay que elegir 3 para un viaje. Aquí no importa el orden: elegir a Ana, Bea y Carlos es lo mismo que elegir a Carlos, Ana y Bea.
Si contáramos como en las variaciones saldrían 10 · 9 · 8 = 720, pero cada grupo se estaría contando 3! = 6 veces (una por cada orden posible). Así que:
10 · 9 · 83! = 7206 = 120
La fórmula
Cm,n = Vm,nn! = m!n! · (m − n)!
Ejemplos
| Situación | Cuenta | Total |
|---|---|---|
| 3 alumnos de 10 | 10 · 9 · 86 | 120 |
| 2 cartas de una baraja de 40 | 40 · 392 | 780 |
| Apuesta de la lotería primitiva (6 de 49) | 49 · 48 · … · 446! | 13.983.816 |
Cómo distinguirlas de las variaciones
La pregunta clave: ¿cambia el resultado si cambio el orden?
| Situación | ¿Importa el orden? | Qué es |
|---|---|---|
| Podio de una carrera | sí | variación |
| Equipo de 3 personas | no | combinación |
| Contraseña | sí | variación |
| Cartas de una mano | no | combinación |
Un ejemplo cotidiano
Cuántos apretones de manos se dan en un grupo de 10 personas: cada apretón involucra a 2 personas y no tiene orden, así que son 10 · 92 = 45.
Usar variaciones cuando el orden no cuenta. Elegir a Ana y a Luis es lo mismo que elegir a Luis y a Ana: contarlo dos veces infla el resultado.
Equipos de 2 entre 5 personas → 5 · 4 = 20(5 · 4) ÷ 2! = 10: hay que dividir entre las formas de ordenar los elegidosPregunta que lo decide: si cambio el orden, ¿es el mismo resultado? Si sí, son combinaciones.