«¿Cuánto tardará en duplicarse?» es la pregunta que faltaba, y para contestarla hay que bajar la incógnita del exponente. Ahí es donde los logaritmos se ganan el sueldo.
La pregunta que faltaba
«¿Cuánto tarda un capital en duplicarse al 5 %?» La ecuación es
1,05t = 2
con la incógnita en el exponente. Se resuelve tomando logaritmos en los dos lados:
t · log 1,05 = log 2 → t = log 2log 1,05 ≈ 14,2 años
Los pasos
- Dejar la potencia sola en un lado.
- Tomar logaritmos en los dos miembros.
- Bajar el exponente con la propiedad log an = n · log a.
- Despejar y calcular.
- Redondear hacia arriba si la respuesta son periodos completos.
Por qué se redondea hacia arriba
Si salen 14,2 años para duplicar el capital, al cabo de 14 años todavía no se ha duplicado: hacen falta 15 años completos. Es lo contrario de lo que ocurría con las entradas o las cajas, donde se redondeaba hacia abajo.
Casos con solución exacta
Cuando los dos lados son potencias de la misma base no hacen falta logaritmos:
2t = 32 → 2t = 25 → t = 5
Conviene mirarlo antes de sacar la calculadora: muchos ejercicios están preparados así.
Redondear hacia abajo el número de periodos. Si hacen falta 8,3 años para alcanzar una cantidad, con 8 todavía no se ha llegado: la respuesta es 9.
t = 8,3 años → tardará 8 añosTardará 9 años: en el octavo aún no se ha alcanzadoPiénsalo en periodos enteros: los intereses se pagan al final del año, no a mitad.