Población, bacterias, virus, radiactividad y dinero se describen con la misma fórmula. Lo único que cambia es el nombre del factor: tasa de crecimiento, de contagio o de desintegración.
La misma fórmula, muchos fenómenos
| Situación | Modelo |
|---|---|
| Una población que crece un r % al año | P0 · (1 + r)t |
| Un coche que se deprecia un 15 % al año | V0 · 0,85t |
| Una sustancia radiactiva | C0 · 12t/T |
| Un cultivo de bacterias que se duplica cada hora | N0 · 2t |
Las dos preguntas de siempre
- ¿Cuánto habrá dentro de t? Se sustituye y se calcula.
- ¿Cuándo se llegará a N? Hace falta despejar el exponente, y eso pide logaritmos.
El truco del tiempo de duplicación
Si algo se duplica cada d periodos, la fórmula se puede escribir
N(t) = N0 · 2t/d
Con bacterias que se duplican cada 3 horas, en 12 horas hay 4 duplicaciones: 24 = 16 veces más.
Por qué sorprende tanto
El crecimiento exponencial parece lento al principio y luego se dispara. Un cultivo que se duplica cada hora y llena un frasco en 24 horas estaba a la mitad en la hora 23: una sola hora antes.
Decrecimiento
Funciona igual con factores menores que 1. Un coche de 20.000 € que pierde un 15 % anual vale 20.000 · 0,853 ≈ 12.283 € a los tres años, y nunca llega a valer 0 según el modelo: otra asíntota.
Multiplicar el porcentaje anual por los años. Un 5 % durante 20 años no es un 100 %: cada año se aplica sobre lo acumulado.
Crece un 5 % anual → en 20 años crece un 100 %1,05²⁰ = 2,65: crece un 165 %, más del dobleTruco rápido: al 5 %, el tiempo de duplicación es 72/5 ≈ 14 años, así que en 20 ya se ha duplicado con creces.