Los problemas de optimización preguntan qué medidas dan el máximo o el mínimo: el mayor área con una valla dada, el menor coste, el mayor beneficio. Cuando la función es una parábola, la respuesta está en el vértice.
El problema típico
«Con 20 metros de valla, ¿qué rectángulo de mayor área se puede cercar?»
Es un problema de optimización: hay muchas soluciones posibles y se busca la mejor. Y se resuelve con lo aprendido: se escribe una función y se busca su vértice.
Los pasos
- Nombrar la incógnita: x = base del rectángulo.
- Escribir las demás magnitudes en función de ella: si el perímetro es 20, la altura es 10 − x.
- Escribir la función que hay que optimizar: Área = x(10 − x) = −x2 + 10x.
- Buscar el vértice: x = 102 = 5.
- Interpretar: base 5 y altura 5, es decir, un cuadrado de área 25 m2.
Por qué funciona
La función es una parábola hacia abajo (el coeficiente de x2 es negativo), así que su vértice es el máximo. Si la parábola abriera hacia arriba, el vértice sería el mínimo, que es lo que se busca en los problemas de coste.
El dominio del problema
En el ejemplo, x tiene que estar entre 0 y 10: una base negativa o mayor que el semiperímetro no tiene sentido. Conviene comprobar que la solución cae dentro de ese intervalo.
Otros ejemplos frecuentes
- El precio que maximiza los ingresos, cuando subir el precio reduce las ventas.
- La altura máxima de un objeto lanzado hacia arriba.
- Dos números que suman una cantidad fija y cuyo producto es máximo.
Olvidar el dominio del problema. La función matemática admite cualquier valor, pero un lado no puede ser negativo ni pasarse del perímetro disponible.
El vértice cae en x = 25, así que la respuesta es 25Si el perímetro son 40 m, el lado solo puede estar entre 0 y 20: la solución tiene que caer ahíEscribe el dominio real antes de resolver: te dice si la respuesta es posible.