La parábola es la forma que dibuja un balón en el aire, un chorro de agua y una antena parabólica. Y aquí empieza a estudiarse por lo más sencillo: qué hace el número que va delante.
La función cuadrática
Una función cuadrática es la que tiene la incógnita elevada al cuadrado:
y = ax2 + bx + c con a ≠ 0
Su gráfica se llama parábola, y no es una recta: es una curva simétrica con un punto más bajo (o más alto) llamado vértice.
La más sencilla: y = x2
La parábola y = x²: vértice en el origen y simétrica respecto al eje vertical.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Los valores se repiten a los dos lados del 0: la parábola es simétrica, como corresponde a una función par.
Qué hace el coeficiente a
y = 2x² (trazo grueso) es más estrecha que y = 0,5x² (a trazos): cuanto mayor es a, más cerrada.
| Valor de a | La parábola |
|---|---|
| a > 0 | abre hacia arriba y el vértice es un mínimo |
| a < 0 | abre hacia abajo y el vértice es un máximo |
| a grande en valor absoluto | más estrecha |
| a pequeño en valor absoluto | más ancha |
Comparando
y = 2x2 sube el doble de rápido que y = x2: es más estrecha. y = 0,5x2 es más ancha. Y y = −x2 es la de siempre puesta del revés.
Por qué no es una recta
Porque no crece a ritmo constante. Entre 0 y 1 sube 1 unidad; entre 1 y 2 sube 3; entre 2 y 3, cinco. La tasa de variación media cambia en cada tramo, y ahí está toda la diferencia con una función lineal.
Pensar que un coeficiente grande hace la parábola más ancha. Es al revés: cuanto mayor es |a|, más deprisa sube y más estrecha queda.
y = 2x² es más ancha que y = 0,5x²y = 2x² es más estrecha: para x = 2 ya vale 8, mientras que la otra vale 2Y el signo decide hacia dónde abre: positiva hacia arriba, negativa hacia abajo.