Con un punto y una dirección queda fijada una recta: eso es la ecuación punto-pendiente. Es la forma más rápida de escribir una recta cuando no te dan la ordenada en el origen.
Una recta queda fijada con un punto y una dirección
Si se conoce la pendiente y un punto por el que pasa, la recta ya está determinada. La fórmula que lo escribe es:
y − y0 = m(x − x0)
donde (x0, y0) es el punto conocido y m la pendiente.
Un ejemplo
Recta de pendiente 3 que pasa por (2, 5):
y − 5 = 3(x − 2) → y − 5 = 3x − 6 → y = 3x − 1
Las dos formas son la misma recta. La punto-pendiente es la que se escribe primero; la y = mx + n es la que se deja como resultado.
Por qué funciona
La pendiente entre el punto fijo y cualquier otro punto (x, y) de la recta tiene que valer m:
y − y0x − x0 = m
Y multiplicando en cruz sale la fórmula. No hay que memorizarla: sale de la definición de pendiente.
Cuándo se usa
- «Recta de pendiente 2 que pasa por (1, 4)».
- «Recta paralela a otra que pasa por un punto» (la pendiente se copia).
- Es también el primer paso para la recta que pasa por dos puntos: se calcula la pendiente y se usa uno de los dos.
Comprobar siempre
Se sustituye el punto en la ecuación final: con y = 3x − 1 y el punto (2, 5): 3 · 2 − 1 = 5 ✓.
Perder un signo al sustituir un punto con coordenadas negativas. En y − y₀ = m(x − x₀), restar un negativo se convierte en sumar.
Punto (−4, 1) → y − 1 = m(x − 4)y − 1 = m(x + 4) (porque x − (−4) = x + 4)Comprobación inmediata: sustituye el punto en tu ecuación y los dos miembros tienen que dar 0.