La tasa de variación media dice a qué velocidad cambia una función entre dos puntos. Es la velocidad media de un coche, el crecimiento medio de una población, la pendiente de un tramo.
Cómo de rápido cambia una función
Saber que una función crece no basta: interesa saber cuánto crece por cada unidad. Eso lo mide la tasa de variación media (TVM) entre dos puntos:
TVM[a, b] = f(b) − f(a)b − a
Arriba, lo que ha cambiado la función. Abajo, lo que ha avanzado x. Es una división, no una resta.
Un ejemplo
Con f(x) = x2, entre x = 1 y x = 4:
TVM = 16 − 14 − 1 = 153 = 5
Significa que, de media, la función sube 5 unidades por cada unidad que avanza x en ese tramo.
Qué significa el signo
| TVM | Qué pasa en ese tramo |
|---|---|
| positiva | la función crece |
| negativa | la función decrece |
| cero | empieza y acaba en el mismo valor |
La comparación con la velocidad
Si f(x) es el espacio recorrido y x el tiempo, la TVM es exactamente la velocidad media: espacio entre tiempo. Toda la idea del tema es esa.
En una recta, la TVM es la pendiente
Con f(x) = 3x + 1, la TVM entre dos puntos cualesquiera vale siempre 3: una recta crece al mismo ritmo en todas partes. Por eso la pendiente de una recta es un número y no depende del tramo.
En una parábola, en cambio, la TVM cambia según el tramo: crece cada vez más deprisa.
Quedarse en la resta de las alturas. Hay que dividir entre lo que ha avanzado la x: si no, no es una velocidad, es solo un cambio.
TVM entre 2 y 6 = f(6) − f(2)TVM = (f(6) − f(2)) / (6 − 2)Piénsalo con un coche: recorrer 200 km no es una velocidad hasta que dices en cuántas horas.