Cada ecuación del sistema es una recta, y resolverlo es buscar dónde se cruzan. Ese dibujo explica de un vistazo por qué unos sistemas no tienen solución y otros tienen infinitas.
Cada ecuación es una recta
Una ecuación como 2x + y = 5 se puede despejar: y = −2x + 5. Es una recta, de las de la unidad 9. Un sistema de dos ecuaciones son dos rectas, y su solución es el punto donde se cortan.
Las tres posiciones
Las rectas x + y = 6 e y = 2x se cortan en (2, 4): esa es la solución del sistema.
| Rectas | Sistema | Soluciones |
|---|---|---|
| Secantes (se cortan) | compatible determinado | una: el punto de corte |
| Paralelas | incompatible | ninguna |
| Coincidentes (la misma) | compatible indeterminado | infinitas |
De la ecuación a la pendiente
Despejando y en ax + NaNy = c se obtiene y = −abx + cb. La pendiente es −ab.
| Ecuación | Despejada | Pendiente |
|---|---|---|
| 2x + y = 5 | y = −2x + 5 | −2 |
| x − y = 1 | y = x − 1 | 1 |
| 4x + 2y = 10 | y = −2x + 5 | −2 |
La primera y la tercera tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen: son la misma recta. Por eso ese sistema sería indeterminado.
Resolver mirando la gráfica
Si dos rectas se cortan en el punto (3, 2), la solución del sistema es x = 3, y = 2. Y al revés: la solución de un sistema dice dónde se cortan las rectas. Son dos formas de decir lo mismo.
Por qué importa
Porque conecta el álgebra con el dibujo. Un sistema sin solución no es un fallo de la cuenta: son dos rectas paralelas, y eso se puede ver.
Dar por hecho que dos rectas distintas siempre se cortan. Si tienen la misma pendiente son paralelas y no se cortan nunca: el sistema es incompatible.
Son dos rectas distintas, así que habrá un punto de cortey = 2x + 1 e y = 2x + 5 son paralelas: no hay soluciónY si además coincide la ordenada en el origen, son la misma recta: infinitas soluciones.