Mirando los coeficientes se puede saber si un sistema tiene una solución, ninguna o infinitas sin resolverlo. Es un control rápido que evita perder diez minutos con un sistema imposible.
Tres cosas pueden pasar
| Tipo | Soluciones | Nombre corto |
|---|---|---|
| Compatible determinado | una sola | SCD |
| Compatible indeterminado | infinitas | SCI |
| Incompatible | ninguna | SI |
En 2.º se descubría al resolver. Aquí se decide antes, comparando los coeficientes.
La comparación
Con un sistema ax + NaNy = c y a′x + NaNy = c′, se comparan las tres razones:
aa′ , bb′ , cc′
| Si ocurre… | El sistema es |
|---|---|
| las dos primeras son distintas | SCD (una solución) |
| las tres son iguales | SCI (infinitas) |
| las dos primeras iguales y la tercera distinta | SI (ninguna) |
Tres ejemplos
2/4 = 3/6 = 8/16 = 0,5: las tres iguales, SCI. La segunda ecuación es la primera multiplicada por 2.
2/4 = 3/6 pero 8/20 no: SI. Dicen cosas incompatibles: no hay ningún par que cumpla las dos.
2/1 ≠ 3/(−1): SCD, con una única solución.
Para qué sirve
Para no perder el tiempo resolviendo lo que no tiene solución, y para entender los resultados raros: si al resolver aparece «0 = 5», el sistema era incompatible; si aparece «0 = 0», era indeterminado.
Concluir «infinitas soluciones» solo porque los coeficientes de las incógnitas sean proporcionales. Hay que mirar también el término independiente.
2x + 3y = 5 y 4x + 6y = 7 → coeficientes proporcionales → infinitas solucionesLos coeficientes sí lo son, pero 5 y 7 no siguen la misma proporción: no tiene soluciónCon 4x + 6y = 10 sí serían infinitas: ahí la segunda ecuación es la primera por dos.