Con paréntesis y denominadores, una inecuación se limpia igual que una ecuación. La única diferencia es esa regla que no perdona: al multiplicar por un negativo, el signo gira.
Los mismos pasos que en una ecuación
Con paréntesis y denominadores se opera igual que en las ecuaciones de primer grado, cuidando solo el signo al final:
- Quitar paréntesis.
- Quitar denominadores multiplicando por el m.c.m. (que es positivo, así que no invierte nada).
- Agrupar la incógnita en un miembro y los números en el otro.
- Despejar, invirtiendo el signo si se divide entre un negativo.
- Escribir la solución como intervalo.
Un ejemplo con paréntesis
3(x − 2) < x + 4 → 3x − 6 < x + 4 → 2x < 10 → x < 5
Solución: (−∞, 5). Comprobación con 0: 3 · (−2) = −6 < 4 ✓.
Un ejemplo con denominadores
x2 + 1 ≥ x − 13
Multiplicando todo por 6: 3x + 6 ≥ 2(x − 1) → 3x + 6 ≥ 2x − 2 → x ≥ −8.
Dos casos especiales
| Al final queda | Significa |
|---|---|
| 0 < 5 (cierto siempre) | la cumplen todos los números: R |
| 0 > 5 (falso siempre) | ninguna solución |
Ocurre cuando las x se cancelan. No es un error: es la respuesta.
Comprobar siempre con un valor
Una inecuación se comprueba eligiendo un número de dentro de la solución y otro de fuera. Si el de dentro la cumple y el de fuera no, la solución está bien orientada; si pasa al revés, el signo se ha invertido por el camino.
Cómo se escribe la respuesta
Con las dos formas, que es lo que se pide en un examen:
x ≥ −8 · x ∈ [−8, +∞)
Multiplicar los dos miembros por un número negativo sin girar la desigualdad. El orden se invierte: lo que era mayor pasa a ser menor.
−2x < 6 → x < −3−2x < 6 → x > −3 (al dividir entre −2, el signo gira)Compruébalo con x = 0: −2 · 0 = 0, que sí es menor que 6. Así que el 0 tiene que estar en la solución.