Ecuaciones con la incógnita en el denominador

Con la incógnita en el denominador aparecen dos cosas nuevas: valores prohibidos y soluciones falsas. Anotar los prohibidos antes de resolver es lo que evita entregar una solución que no existe.

Primero, los valores prohibidos

Cuando la incógnita aparece en un denominador, hay valores que no se pueden usar: los que anulan ese denominador.

6x = x − 1 → x ≠ 0

Antes de resolver, anota los valores prohibidos. Si al final una «solución» coincide con uno de ellos, hay que descartarla: no es solución de la ecuación original, aunque salga de la cuenta.

El método

Anotar los valores que anulan algún denominador.
Multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Resolver la ecuación que queda (suele ser de segundo grado).
Comprobar que las soluciones no son valores prohibidos.

Un ejemplo

6x = x − 1, con x ≠ 0. Multiplicando todo por x:

6 = x² − x → x² − x − 6 = 0 → x = 3 y x = −2

Ninguna es 0, así que las dos valen. Comprobación con x = 3: 63 = 2 y 3 − 1 = 2 ✓.

Otro, con dos denominadores

1x + 12 = 34, con x ≠ 0. El m.c.m. de x, 2 y 4 es 4x:

4 + 2x = 3x → x = 4

Por qué aparecen soluciones falsas

Al multiplicar por una expresión con x, se está multiplicando por algo que podría ser cero, y eso puede añadir soluciones que no valían. Por eso la comprobación final no es opcional en este tipo de ecuación.

El caso más traicionero

x²x − 2 = 4x − 2

Multiplicando por x − 2 queda x² = 4, con soluciones 2 y −2. Pero x = 2 anula el denominador: la única solución válida es −2.

Dónde se lía todo el mundo

Quitar el denominador multiplicando solo el término que lo tiene. Se multiplica la ecuación entera, los dos miembros.

3/x + 2 = 5 → 3 + 2 = 5xMultiplicando todo por x: 3 + 2x = 5x

Y antes de empezar, anota x ≠ 0: si al final sale x = 0, hay que descartarla.

En una fraseSe anotan los valores que anulan los denominadores, se multiplica toda la ecuación por el m.c.m. y al final se descartan las soluciones prohibidas.