Una bicuadrada parece de grado 4 y es de segundo grado disfrazada: con un cambio de variable se convierte en una ecuación conocida. El truco es de los que se recuerdan toda la vida.
Grado 4, pero con truco
Una ecuación bicuadrada es de la forma:
ax4 + bx2 + c = 0
Solo aparecen los grados 4, 2 y 0: ningún exponente impar. Eso permite un cambio de variable que la convierte en una ecuación de segundo grado normal.
El cambio de variable
Se llama t = x2. Entonces x4 = (x2)2 = t2, y la ecuación queda:
at2 + bt + c = 0
Con x4 − 13x2 + 36 = 0:
- Cambio: t2 − 13t + 36 = 0.
- Fórmula: t = 9 y t = 4.
- Deshacer el cambio: x2 = 9 → x = ±3, y x2 = 4 → x = ±2.
Cuatro soluciones: 3, −3, 2 y −2.
Cuántas soluciones salen
| Valores de t | Soluciones en x |
|---|---|
| dos positivos | 4 |
| uno positivo y uno negativo | 2 |
| los dos negativos | ninguna |
| uno positivo y t = 0 | 3 |
Un valor negativo de t se descarta: x2 no puede ser negativo.
Un ejemplo con descarte
x4 − 3x2 − 4 = 0 → t2 − 3t − 4 = 0 → t = 4 y t = −1.
El −1 se descarta y solo queda x2 = 4: dos soluciones, 2 y −2.
Las soluciones van por parejas
Si s es solución de una bicuadrada, −s también lo es: al elevar a exponentes pares, el signo desaparece. Por eso las soluciones salen siempre simétricas respecto al cero.
Deshacer el cambio con un valor negativo. Si t sale negativo, no da ninguna x: se descarta antes de sacar la raíz.
t = −4 → x = ±√(−4) = ±2t = −4 se descarta: ningún x² real vale −4Y cada t positivo da dos soluciones de x, una positiva y otra negativa.