Cuando sí hay término independiente, la herramienta es Ruffini: factorizar el polinomio es exactamente resolver la ecuación. Las raíces del polinomio son las soluciones.
Cuando sí hay término independiente
Con x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 no se puede sacar factor común. Aquí entra todo lo de la unidad 5: se factoriza el polinomio y después se aplica el producto nulo.
- Se buscan raíces enteras entre los divisores del término independiente (±1, ±2, ±3, ±6).
- Cada raíz encontrada da un factor, y Ruffini deja un cociente de grado menor.
- Se sigue hasta llegar a grado 2, que se resuelve con la fórmula.
x3 − 2x2 − 5x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 2) = 0
Soluciones: 1, 3 y −2.
Resolver es factorizar
No hace falta llegar a grado 1
En cuanto queda un polinomio de grado 2, se para y se usa la fórmula. Con x3 − x2 − 8x + 12 = 0:
- Ruffini con 2 deja el cociente x2 + x − 6.
- Fórmula: x = 2 y x = −3.
- Soluciones: 2 (doble) y −3.
Cuántas soluciones esperar
Como mucho, tantas como el grado. Una de grado 3 tiene tres, dos o una; una de grado 4, hasta cuatro. Si salen más, hay un error seguro.
Si ninguna raíz entera funciona
Entonces la ecuación no tiene soluciones enteras y en 3.º de ESO no se pide resolverla. Antes de rendirse, conviene comprobar que se han probado todos los divisores, positivos y negativos.
Dar por hecho que una ecuación de grado n tiene n soluciones reales. Tiene como mucho n: algunos factores de grado 2 no se anulan nunca.
Una ecuación de grado 4 tiene siempre 4 solucionesPuede tener 4, 3, 2, 1 o ninguna: depende de si los factores de grado 2 tienen discriminante positivoNo hace falta llegar a grado 1: cuando el cociente es de grado 2, se acaba con la fórmula.