Cuando en una ecuación de grado alto no hay término independiente, se saca factor común la x y el problema se parte en dos más pequeños. Es el primer sitio donde mirar siempre.
Cuando no hay término independiente
Una ecuación como x3 − 3x2 − 10x = 0 parece difícil por el grado, pero tiene un regalo: todos los términos llevan x. Sacando factor común:
x(x2 − 3x − 10) = 0
Y por el producto nulo, se parte en dos:
- x = 0
- x2 − 3x − 10 = 0 → con la fórmula, x = 5 y x = −2
Tres soluciones: 0, 5 y −2.
El aviso
Si al ordenar la ecuación el término independiente es 0, hay factor común seguro. Es lo primero que hay que mirar, antes de plantearse Ruffini.
Un ejemplo con coeficiente numérico
2x3 − 8x = 0 → 2x(x2 − 4) = 0 → 2x(x + 2)(x − 2) = 0
Soluciones: 0, −2 y 2. El factor numérico 2 no aporta ninguna solución: un número distinto de cero nunca se anula.
Grado 4 con factor común doble
x4 − 5x3 = 0 → x3(x − 5) = 0
El factor x3 da x = 0 (triple) y el otro da 5. Como soluciones distintas hay dos: 0 y 5.
El orden de trabajo
- Ordenar e igualar a cero.
- Sacar factor común (número y letra).
- Aplicar el producto nulo.
- Resolver cada trozo: los de grado 1 de cabeza y los de grado 2 con la fórmula.
Contar mal las soluciones que salen de los factores. Cada factor aporta las suyas: la x sacada da x = 0 y el paréntesis puede dar dos más.
x³ − 4x = 0 → x(x² − 4) = 0 → dos solucionesTres: x = 0, x = 2 y x = −2Y nunca dividas entre x para «simplificar»: ahí se pierde la solución x = 0.