Si un producto vale cero, alguno de sus factores vale cero. Esa frase de una línea resuelve ecuaciones de grado 3, 4 o el que haga falta sin ninguna fórmula.
La idea que lo resuelve todo
Eso convierte una ecuación difícil en varias fáciles. Con (x − 3)(x + 5) = 0:
- x − 3 = 0 → x = 3
- x + 5 = 0 → x = −5
Las soluciones son 3 y −5. Ni fórmula ni discriminante: se leen directamente de los paréntesis.
Leer las soluciones de un vistazo
| Ecuación | Soluciones |
|---|---|
| (x − 2)(x − 7) = 0 | 2 y 7 |
| (x + 1)(x − 4) = 0 | −1 y 4 |
| x(x − 6) = 0 | 0 y 6 |
| (x − 3)2 = 0 | 3 (doble) |
| (x − 1)(x + 2)(x − 5) = 0 | 1, −2 y 5 |
El signo se cambia: el factor x + 5 da la solución x = −5. Es el fallo más repetido.
Cuidado: tiene que estar igualado a CERO
Si la ecuación es (x − 3)(x + 5) = 12, no se puede razonar así: que un producto valga 12 no obliga a ningún factor a valer nada concreto. Hay que operar, ordenar y resolver con la fórmula.
(x − 3)(x + 5) = 12 → x2 + 2x − 27 = 0 (y aquí sí, fórmula)
Con más de dos factores
Funciona igual: cada factor de grado 1 da una solución. Una ecuación factorizada en tres binomios tiene tres soluciones, y ahí está la clave de las ecuaciones de grado 3 y 4 de las próximas sesiones.
Factores que no dan solución
En (x2 + 1)(x − 4) = 0, el primer factor no se anula nunca. La única solución es x = 4.
Aplicar la regla cuando el producto está igualado a otra cosa que no sea cero. Que dos factores multipliquen 6 no dice nada de cuánto vale cada uno.
(x − 2)(x + 3) = 6 → x − 2 = 6 o x + 3 = 6Hay que desarrollar, pasar el 6 al otro lado e igualar a 0El cero es lo único especial: es el único número que solo se obtiene si un factor es cero.