Factorizar del todo es combinar tres herramientas en el orden correcto: factor común, identidades notables y Ruffini. En ese orden se ahorra la mitad del trabajo.
Tres herramientas y un orden
Para factorizar un polinomio cualquiera hay tres técnicas, y conviene usarlas en este orden:
| Orden | Técnica | Cuándo |
|---|---|---|
| 1.º | Factor común | siempre que todos los términos compartan algo |
| 2.º | Identidades notables | si se reconoce un cuadrado o una diferencia de cuadrados |
| 3.º | Ruffini | para lo que quede, si es de grado 3 o más |
Las identidades que hay que reconocer
| Forma | Se factoriza como | Ejemplo |
|---|---|---|
| a2 + 2ab + b2 | (a + b)2 | x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 |
| a2 − 2ab + b2 | (a − b)2 | x2 − 10x + 25 = (x − 5)2 |
| a2 − b2 | (a + b)(a − b) | x2 − 16 = (x + 4)(x − 4) |
Un ejemplo con las tres
Factorizar 2x3 − 2x2 − 12x:
- Factor común 2x: queda 2x(x2 − x − 6).
- El paréntesis es de grado 2: se buscan dos números que multiplicados den −6 y sumados den −1 → −3 y 2.
- Resultado: 2x(x − 3)(x + 2).
Comprobar el grado
La suma de los grados de todos los factores tiene que dar el grado del polinomio. En el ejemplo: 1 (del x) + 1 + 1 = 3 ✓, y el polinomio era de grado 3.
Cuándo parar
Cuando todos los factores son de grado 1, o de grado 2 sin raíces reales. x2 + 4 no se puede descomponer más: ningún número real lo anula.
Confundir la diferencia de cuadrados con un cuadrado perfecto. x² − 4 es una resta de cuadrados y se factoriza como suma por diferencia.
x² − 4 = (x − 2)²x² − 4 = (x + 2)(x − 2)Compruébalo con x = 0: x² − 4 vale −4; (x − 2)² valdría 4. No es lo mismo.