Factorizar es escribir el polinomio como un producto. Con Ruffini se hace en cadena: cada raíz encontrada saca un factor y deja un polinomio más pequeño con el que seguir.
Juntar todas las piezas
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios más sencillos. Con lo visto en las sesiones anteriores ya se puede hacer con casi cualquier polinomio de grado 3 o más:
- Se buscan las raíces enteras entre los divisores del término independiente.
- Cada raíz a encontrada da un factor x − a.
- Se divide por Ruffini y se sigue con el cociente, que tiene un grado menos.
- Se para cuando queda un polinomio de grado 1 o 2 que ya se sabe tratar.
Un ejemplo completo
Factorizar x3 − 2x2 − 5x + 6. Candidatos: ±1, ±2, ±3, ±6.
Queda x + 2, de grado 1, que ya es un factor. Resultado:
x3 − 2x2 − 5x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 2)
Comprobar la factorización
Dos comprobaciones rápidas, sin multiplicarlo todo:
- El producto de los términos independientes de los factores tiene que dar el término independiente del polinomio: (−1)(−3)(2) = 6 ✓.
- El número de factores de grado 1 no puede pasar del grado del polinomio.
Cuando no hay más raíces enteras
Si al llegar a un polinomio de grado 2 no hay más raíces enteras, se resuelve con la fórmula de las ecuaciones de segundo grado (unidad 6) o se deja así. Y si tampoco tiene solución, el factor de grado 2 se queda tal cual: x2 + 1 no se puede descomponer más.
Dejarse por el camino los factores ya encontrados. Cada Ruffini con resto 0 aporta un factor (x − a) que hay que arrastrar hasta el final.
Tras dos Ruffini escribo solo el último cocienteP(x) = (x − 2)(x + 1)(x + 3): todos los factores, más el cociente finalComprobación del grado: los factores multiplicados tienen que sumar el grado del polinomio de partida.