Las raíces de un polinomio son los valores que lo anulan, y son las soluciones de la ecuación que forma. Encontrarlas es lo que permite factorizarlo, dibujarlo y resolverlo.
Qué es una raíz
Un número a es raíz de un polinomio si el polinomio vale cero en él:
P(a) = 0
Y por el teorema del resto, eso es lo mismo que decir que x − a es un factor. Las raíces son, además, las soluciones de la ecuación P(x) = 0, que es la unidad siguiente.
Dónde buscarlas
Probar números al azar no lleva a ninguna parte. Hay una regla que reduce muchísimo la búsqueda:
Con x3 − 2x2 − 5x + 6, el término independiente es 6, así que las únicas raíces enteras posibles son ±1, ±2, ±3 y ±6. Ocho candidatos en lugar de infinitos.
Probando
| Candidato | P(a) | |
|---|---|---|
| 1 | 0 | raíz ✓ |
| −1 | 8 | no |
| 2 | -4 | no |
| 3 | 0 | raíz ✓ |
| −2 | 0 | raíz ✓ |
Las tres raíces son 1, 3 y −2. Y con eso el polinomio queda factorizado: x3 − 2x2 − 5x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 2).
Cuántas raíces puede haber
Como mucho, tantas como el grado: un polinomio de grado 3 tiene tres raíces como máximo. Puede tener menos:
- x2 + 1 no tiene ninguna raíz real: x2 + 1 nunca vale cero.
- x2 − 2x + 1 tiene una sola, x = 1, pero repetida: es (x − 1)2.
El truco del término independiente
Si el término independiente es 0, entonces x = 0 es raíz y se puede sacar x factor común. Con x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2), el problema baja un grado de golpe.
Probar solo con divisores positivos. Las raíces enteras son divisores del término independiente, y los divisores también son negativos.
Término independiente 6 → pruebo 1, 2, 3 y 6Pruebo también −1, −2, −3 y −6Empieza por los pequeños: ±1 y ±2 resuelven la mayoría de los ejercicios de 3.º.