El teorema del resto permite saber el resto de una división sin dividir: basta con sustituir. Es lo que hace posible buscar raíces probando, que es como se factorizan los polinomios.
El resto sin hacer la división
Al dividir x3 − 2x2 − 5x + 6 entre x − 3 salía resto 0. Y si se calcula el valor numérico en 3:
P(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0
No es casualidad. Es el teorema del resto:
Por qué funciona
Por la prueba de la división: P(x) = (x − a) · c(x) + r. Sustituyendo x = a, el primer sumando se anula porque a − a = 0, y queda P(a) = r.
Un ejemplo
¿Cuál es el resto de dividir x3 + 3x2 − 2x + 5 entre x + 1? En lugar de dividir, se sustituye x = −1:
P(−1) = −1 + 3 + 2 + 5 = 9
Y coincide con el 9 que salía haciendo la división larga entera.
Cuidado con el signo
| Divisor | Hay que calcular |
|---|---|
| x − 3 | P(3) |
| x + 3 | P(−3) |
| x − 1 | P(1) |
| x | P(0) |
Siempre es el número que anula el divisor, igual que en Ruffini.
Para qué sirve de verdad
Para saber si una división va a ser exacta antes de hacerla. Si P(a) = 0, entonces x − a es un factor del polinomio, y ese es el punto de partida de la factorización.
Comprobar cinco candidatos con el teorema del resto cuesta un minuto; hacer cinco divisiones largas, un cuarto de hora.
Un truco que ahorra tiempo
P(1) es la suma de todos los coeficientes, porque todas las potencias de 1 valen 1. Si los coeficientes suman 0, entonces x − 1 es factor seguro. Con x3 + 2x2 − 5x + 2: 1 + 2 − 5 + 2 = 0 ✓.
Sustituir el número tal como aparece en el divisor. Para x + 2 hay que sustituir −2: el valor que anula el divisor.
Resto de dividir entre x + 2 → P(2)→ P(−2)Comprueba con un caso fácil: x + 2 se hace cero cuando x = −2, y ese es el número que manda.