La prueba de la división —dividendo = divisor · cociente + resto— es la comprobación que convierte un ejercicio dudoso en uno seguro. Y de ella sale la idea de división exacta.
La igualdad que siempre se cumple
Igual que con los números, al dividir polinomios se cumple:
D = d · c + r
dividendo igual a divisor por cociente más resto. Es la prueba de la división, y sirve para comprobar cualquier resultado.
Un ejemplo de comprobación
Al dividir x3 + 3x2 − 2x + 5 entre x + 1 salía cociente x2 + 2x − 4 y resto 9:
(x + 1)(x2 + 2x − 4) + 9 = x3 + 3x2 − 2x + 5 ✓
Si al multiplicar y sumar no sale el dividendo original, la división está mal. No hay que fiarse de la sensación de que ha salido bien.
División exacta
Cuando el resto es 0, la división es exacta y entonces:
D = d · c
Y eso significa algo importante: el dividendo queda escrito como producto. Se dice que d es un divisor o un factor de D, y que D es divisible entre d.
Ejemplos
| División | Resto | ¿Exacta? |
|---|---|---|
| x2 + 5x + 6 : (x + 2) | 0 | sí, y x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) |
| x2 − 9 : (x − 3) | 0 | sí |
| x3 + 3x2 − 2x + 5 : (x + 1) | 9 | no |
Los grados también avisan
En una división exacta, el grado del dividendo es exactamente la suma de los grados del divisor y del cociente. Si un polinomio de grado 3 es divisible entre uno de grado 1, el otro factor tiene grado 2 obligatoriamente.
Parar la división demasiado tarde o demasiado pronto. Se para cuando el resto tiene grado menor que el divisor: ni antes ni después.
El resto me ha salido de grado 2 dividiendo entre un polinomio de grado 2Si el resto todavía tiene el grado del divisor, la división sigueLos grados avisan: grado del cociente = grado del dividendo − grado del divisor.