Se pueden sumar infinitos números y obtener un resultado finito. Suena imposible y explica la paradoja de Aquiles y la tortuga, y también por qué 0,999… es exactamente 1.
Sumar infinitos números y que salga un número finito
Parece imposible, pero pasa. Si la razón está entre −1 y 1, los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma se acerca a un valor fijo:
8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … = 16
| Términos sumados | Suma |
|---|---|
| 3 | 14 |
| 5 | 15,5 |
| 8 | 15,9375 |
| 15 | 15,999512 |
Nunca llega a 16, pero se acerca todo lo que se quiera. Ese valor límite es lo que se llama la suma infinita.
La fórmula
S = a11 − r solo si −1 < r < 1
Con 8, 4, 2, 1, …: S = 8 : (1 − 0,5) = 8 : 0,5 = 16 ✓.
Por qué funciona
En la fórmula de la suma de n términos aparece rn. Si r está entre −1 y 1, esa potencia se acerca a cero cuando n crece:
0,510 = 0,000977 · 0,520 = 0,00000095
Al desaparecer ese término, lo que queda es a1 : (1 − r).
La paradoja de Zenón
Para recorrer 100 m hay que pasar antes por la mitad (50 m), luego por la mitad de lo que queda (25 m), luego 12,5 m… Zenón concluyó que el movimiento era imposible porque había infinitos pasos.
50 + 25 + 12,5 + 6,25 + … = 501 − 0,5 = 100
Infinitos pasos, distancia total finita. La progresión geométrica resuelve una paradoja de hace 2.400 años.
Y el 0,999… = 1
0,999… es la suma de 0,9 + 0,09 + 0,009 + …, una geométrica de a1 = 0,9 y r = 0,1:
S = 0,91 − 0,1 = 0,90,9 = 1
No es que se parezca a 1: es 1. Las dos escrituras son del mismo número, igual que 12 y 0,5.
Suponer que sumar infinitos números siempre da infinito. Si cada sumando es una fracción del anterior —|r| menor que 1—, la suma se acerca a un número concreto.
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … es infinitoVale 2: cada término añade la mitad de lo que falta y nunca se pasaY si |r| es mayor o igual que 1, entonces sí: la suma crece sin límite.