En los problemas de progresiones el trabajo está en reconocer el tipo: si crece una cantidad fija, es aritmética; si crece un porcentaje, es geométrica. Después es sustituir en la fórmula.
Reconocer el tipo
Casi todos los problemas del tema se resuelven contestando dos preguntas: ¿se suma o se multiplica? y ¿piden un término o una suma?
| En el enunciado aparece… | Es |
|---|---|
| «cada día 5 más que el anterior» | aritmética, d = 5 |
| «cada año un 10 % más» | geométrica, r = 1,1 |
| «se dobla», «se reduce a la mitad» | geométrica |
| «en total», «entre todos» | hay que sumar |
| «en el día 12», «al cabo de 8 años» | un término suelto |
Las cuatro fórmulas
| Aritmética | Geométrica | |
|---|---|---|
| Término | a1 + (n − 1)d | a1 · rn − 1 |
| Suma | (a1 + an) · n : 2 | a1(rn − 1) : (r − 1) |
Un problema resuelto
Una empresa vendió 4.000 unidades el primer año y cada año vende un 20 % más. ¿Cuántas vendió el quinto año y cuántas en total en los cinco años?
- Es geométrica con a1 = 4.000 y r = 1,2.
- Quinto año: 4.000 · 1,24 = 8294,4 unidades.
- Total: 4.000 · (1,25 − 1) : 0,2 = 29.766,4 unidades.
La comprobación final
Cuando el número de términos es pequeño, escribe la lista y suma a mano. Es la única forma segura de saber si has usado bien los exponentes, y con cinco términos cuesta medio minuto.
Confundir «sube 50 € al año» con «sube un 5 % al año». Una cantidad fija da una progresión aritmética; un porcentaje, una geométrica.
Un sueldo que sube 50 € al año es una progresión geométricaEs aritmética (d = 50). Si subiera un 5 %, sería geométrica de razón 1,05La pista está en el enunciado: «€» o «unidades» → aritmética; «%» o «el doble» → geométrica.