Sumar una progresión geométrica es lo que contesta a «¿cuánto grano cabe en el tablero de ajedrez?» y a «¿cuánto habré pagado en total al acabar el préstamo?». Aquí no valen los pares de Gauss.
Aquí no se pueden emparejar términos
En una aritmética, los términos equidistantes sumaban lo mismo y de ahí salía la fórmula. En una geométrica no ocurre, así que la fórmula es distinta:
Sn = a1 · (rn − 1)r − 1
Aquí el exponente sí es n, no n − 1: es el número de términos que se suman.
Un ejemplo
Suma de los 5 primeros términos de 2, 6, 18, 54, 162 (a1 = 2, r = 3):
S5 = 2 · (35 − 1)3 − 1 = 2 · 2422 = 242
Comprobación sumando a mano: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 ✓.
Cuando la razón es menor que 1
La fórmula vale igual, aunque salgan números negativos arriba y abajo que se cancelan. Con a1 = 16 y r = 0,5, cuatro términos:
S4 = 16 · (0,54 − 1)0,5 − 1 = 16 · (−0,9375)−0,5 = 30
Comprobación: 16 + 8 + 4 + 2 = 30 ✓.
Por qué la razón 1 se queda fuera
Si r = 1 el denominador sería 0. Pero ese caso no necesita fórmula: todos los términos son iguales, así que la suma es a1 · n.
El trigo del tablero de ajedrez
Un grano en la primera casilla y el doble en cada una siguiente. La suma de las 64 casillas es:
S64 = 1 · (264 − 1)2 − 1 = 264 − 1
Un número de veinte cifras: unos 18 trillones de granos, más de lo que se ha cosechado nunca. La fórmula lo resuelve en un renglón.
Aplicar la fórmula cuando la razón vale 1. Con r = 1 el denominador se anula: todos los términos son iguales, así que la suma es a₁ por n.
5, 5, 5, 5 con r = 1 → S = a₁(r⁴ − 1)/(r − 1) = 0/0S = 5 · 4 = 20Es el único caso que la fórmula deja fuera, y se resuelve mirando la sucesión.