El término general de una geométrica es una potencia, y por eso es la misma fórmula que la del interés compuesto: un capital que crece un tanto por ciento fijo es exactamente una progresión geométrica.
La fórmula
Para llegar al término n hay que multiplicar por la razón n − 1 veces, por el mismo motivo que en las aritméticas:
an = a1 · rn − 1
Con 2, 6, 18, 54, … (a1 = 2 y r = 3):
an = 2 · 3n − 1 → a8 = 2 · 37 = 4374
Buscar la razón con dos términos
Si a2 = 6 y a5 = 162, entre las dos posiciones hay 3 multiplicaciones:
r3 = 1626 = 27 → r = 3√27 = 3
La idea es la misma que en las aritméticas, cambiando restar por dividir y multiplicar por elevar.
La relación con el interés compuesto
La fórmula del capital final era C · (1 + i)t, con exponente t y no t − 1. No es una contradicción: el capital inicial es el «término 0», no el primero. Si se numera el capital de partida como a1, el capital al cabo de t años es el término t + 1.
Interpolar medios geométricos
Interpolar 2 medios geométricos entre 3 y 81 es completar 3, ⬚, ⬚, 81 como progresión geométrica. Hay 3 multiplicaciones:
r3 = 813 = 27 → r = 3 → 3, 9, 27, 81
Cuando la razón es menor que 1
La fórmula es la misma. Con a1 = 800 y r = 0,5: a5 = 800 · 0,54 = 800 · 0,0625 = 50. Los términos se acercan a cero pero nunca llegan, y eso será importante en la sesión de la suma infinita.
Suponer que una razón negativa da todos los términos negativos. Con r negativa, los signos van alternando.
a₁ = 3 y r = −2 → 3, −6, −12, −24…3, −6, 12, −24: cada término cambia de signoEs la regla de los signos: multiplicar dos veces por un negativo devuelve el positivo.