En una progresión geométrica se multiplica siempre por lo mismo. Es la forma en la que crecen los intereses, los virus y las cadenas de mensajes: mucho más deprisa de lo que parece.
Multiplicar siempre por lo mismo
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, que se escribe r.
2, 6, 18, 54, 162, … con r = 3
La razón se calcula dividiendo un término entre el anterior:
r = anan−1
Aritmética o geométrica
| Aritmética | Geométrica | |
|---|---|---|
| Se pasa al siguiente | sumando d | multiplicando por r |
| Se detecta | restando | dividiendo |
| Crece | en línea recta | cada vez más deprisa |
Qué hace la razón
| Razón | Comportamiento | Ejemplo |
|---|---|---|
| r > 1 | crece muy deprisa | 1, 2, 4, 8, … |
| 0 < r < 1 | decrece acercándose a 0 | 80, 40, 20, 10, … |
| r negativa | alterna de signo | 3, −6, 12, −24, … |
| r = 1 | constante | 5, 5, 5, … |
Dónde aparecen
- El interés compuesto: el capital de cada año es el anterior por 1 + i. Es exactamente una progresión geométrica, y por eso salía una potencia.
- Una población de bacterias que se dobla cada hora.
- Un coche que pierde el 15 % de su valor al año: razón 0,85.
- Un folio doblado por la mitad: 1, 2, 4, 8, 16… capas.
Lo deprisa que crece
La leyenda del tablero de ajedrez: un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera… En la casilla 64 harían falta 263 granos, más trigo del que se ha cosechado en la historia. Así crece una progresión geométrica.
Clasificar por si crece o decrece. Lo que decide es si entre términos se suma siempre lo mismo (aritmética) o se multiplica siempre por lo mismo (geométrica).
1, 2, 4, 8 es aritmética porque va creciendoLas diferencias son 1, 2, 4 (no coinciden), pero los cocientes son 2, 2, 2: es geométrica de razón 2Prueba de dos pasos: resta dos términos seguidos y luego divídelos. Lo que salga constante manda.