Gauss sumó de niño los cien primeros números en unos segundos emparejando el primero con el último. De ese truco sale la fórmula, y sirve para sumar cualquier progresión aritmética.
El truco de Gauss
Cuenta la historia que a Gauss, con nueve años, le mandaron sumar los números del 1 al 100 para tenerlo entretenido. Tardó un minuto. Emparejó los términos por los extremos:
1 + 100 = 101 · 2 + 99 = 101 · 3 + 98 = 101 · …
Hay 50 parejas que suman 101 cada una: 50 · 101 = 5.050.
La fórmula
Eso mismo funciona en cualquier progresión aritmética, porque los términos equidistantes de los extremos suman siempre lo mismo:
Sn = (a1 + an) · n2
Un ejemplo
Sumar los 20 primeros términos de 3, 7, 11, 15, …
- Último término: a20 = 3 + 19 · 4 = 79.
- Suma: (3 + 79) · 20 : 2 = 82 · 10 = 820.
Los errores que hay que evitar
- Usar n como si fuera el último término. n es cuántos hay, no cuánto vale el último.
- Olvidar dividir entre 2.
- Contar mal los términos: de 1 a 100 hay 100 términos, pero de 5 a 100 de cinco en cinco hay 20.
Contar cuántos términos hay
Se despeja de la fórmula del término general. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 3 y 60?
60 = 3 + (n − 1) · 3 → 57 = 3n − 3 → n = 20
Y su suma es (3 + 60) · 20 : 2 = 630.
Contar mal cuántos términos hay. El número de términos no es la diferencia entre el primero y el último: hay que dividir entre el salto y sumar uno.
De 5 a 50 de 5 en 5 hay (50 − 5) ÷ 5 = 9 términos(50 − 5) ÷ 5 + 1 = 10 términosCompruébalo contando los pequeños: de 5 a 20 de 5 en 5 son 5, 10, 15 y 20; cuatro, no tres.