Con la fórmula del término general se llega a cualquier término de un salto. Y funciona también al revés: con dos términos cualesquiera se reconstruye la progresión entera.
La fórmula
Para llegar al término n desde el primero hay que sumar la diferencia n − 1 veces, no n veces: del primero al segundo hay un salto, del primero al tercero dos…
an = a1 + (n − 1) · d
Un ejemplo
Progresión 3, 7, 11, 15, … con a1 = 3 y d = 4:
an = 3 + (n − 1) · 4 = 4n − 1
Y con eso, a50 = 4 · 50 − 1 = 199, sin escribir los 49 anteriores.
Simplificar la fórmula
Conviene quitar el paréntesis: queda una expresión de la forma dn + algo, que es más cómoda.
| Progresión | Sin simplificar | Simplificada |
|---|---|---|
| 3, 7, 11, … | 3 + (n − 1) · 4 | 4n − 1 |
| 5, 8, 11, … | 5 + (n − 1) · 3 | 3n + 2 |
| 20, 17, 14, … | 20 + (n − 1) · (−3) | −3n + 23 |
Fíjate en que el número que multiplica a n es siempre la diferencia. Eso permite reconocer una progresión aritmética con solo mirar su término general.
De dos términos cualesquiera a la progresión entera
Si se conocen dos términos, la diferencia sale sola. Con a3 = 11 y a7 = 27:
d = 27 − 117 − 3 = 164 = 4
Del término 3 al 7 hay 4 saltos, y entre los dos términos hay 16 de diferencia: cada salto vale 4. Después se obtiene a1 retrocediendo: 11 − 2 · 4 = 3.
Interpolar medios aritméticos
«Interpolar tres medios aritméticos entre 2 y 18» es completar 2, ⬚, ⬚, ⬚, 18 de modo que sea una progresión aritmética. Con 3 medios hay 4 saltos:
d = 18 − 23 + 1 = 4 → 2, 6, 10, 14, 18
La regla general: para interpolar k medios entre a y b, la diferencia es (b − a) : (k + 1).
Dividir entre la posición en lugar de entre el número de saltos. De a₃ a a₇ hay cuatro saltos, no siete.
a₃ = 7 y a₇ = 19 → d = (19 − 7) ÷ 7d = (19 − 7) ÷ (7 − 3) = 12 ÷ 4 = 3Comprobación con el primer término: aₙ = a₁ + (n − 1)d tiene que devolver a₁ cuando n = 1.