En una progresión aritmética se suma siempre la misma cantidad. Es lo que pasa con un sueldo que sube una cantidad fija cada año, o con los asientos de las filas de un teatro.
Sumar siempre lo mismo
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, llamada diferencia y escrita d.
3, 7, 11, 15, 19, … con d = 4
La diferencia se calcula restando dos términos consecutivos, siempre en este orden:
d = an − an−1
Cómo se comprueba
Hay que restar todas las parejas consecutivas, no solo la primera:
| Sucesión | Diferencias | ¿Es aritmética? |
|---|---|---|
| 2, 5, 8, 11 | 3, 3, 3 | sí, d = 3 |
| 10, 7, 4, 1 | −3, −3, −3 | sí, d = −3 |
| 1, 2, 4, 8 | 1, 2, 4 | no |
| 5, 5, 5, 5 | 0, 0, 0 | sí, d = 0 |
El signo de la diferencia
- d > 0: la progresión crece.
- d < 0: decrece.
- d = 0: es constante.
Dónde aparecen
En todo lo que aumenta a ritmo fijo: una hucha a la que se echan 5 € cada semana, las filas de un teatro en el que cada fila tiene 2 butacas más que la anterior, el consumo de un depósito que pierde la misma cantidad cada día, los múltiplos de un número.
Y también en el interés simple de la unidad 3: cada año se suma la misma cantidad de intereses, así que los capitales año a año forman una progresión aritmética.
Términos equidistantes
En una progresión aritmética, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es siempre la misma. En 3, 7, 11, 15, 19:
3 + 19 = 22 · 7 + 15 = 22 · 11 + 11 = 22
Esta propiedad es la que hará que la fórmula de la suma sea tan sencilla dentro de dos sesiones.
Dar por hecho que la diferencia tiene que ser positiva. Si es negativa, la progresión decrece, y sigue siendo aritmética.
20, 17, 14, 11 no es una progresión aritmética porque bajaLo es, con diferencia d = −3Y para comprobarlo hay que mirar todas las diferencias, no solo la primera.